Variabel acak ,Distribusi probabilitas

Ringkasan Materi

Bab 8

1.            Distribusi probabilitas adalah sebuah daftar dari keseluruhan hasil suatu percobaan kejadian yang disertai dengan nilai probabilitas masing-masing hasil (event).

2.            Variabel acak adalah sebuah ukuran yang merupakan hasil suatu percobaan atau kejadian yang terjadi secara acak atau untung-untungan dan mempunyai nilai yang berbeda-beda.

3.            Variabel acak diskret adalah merupakan ukuran hasil dari percobaan yang bersifat acak dan mempunyai nilai tertentu yang terpisah dalam suatu interval. Variabel acak diskret biasa dalam bentuk bilangan bulat dan  dihasilkan dari perhitungan.

4.            Variabel acak kontinu mempunyai nilai yang menempati pada seluruh interval hasil percobaan. Variabel acak kontinu dihasilkan dari pengukuran dan dalam bentuk pecahan.

5.            Rata-rata hitung, varians, dan standar deviasi distribusi probabilitas dirumuskan sebagai berikut:

a.         Rata-rata hitung = m = å[ X . P(X)]

b.         Varians = s² = å[(X -m)² .P(X)]

c.         Standar deviasi = s = Ös²

6.            Distribusi Binomial dicirikan dengan (a) terdapat hanya 2 peristiwa dalam setiap percobaan, (b) besarnya probabilitas sukses dan gagal dalam setiap percobaan sama, (c) antar-percobaan bersifat inde- penden dan (d)  data merupakan hasil perhitungan.

            Distribusi binomial dirumuskan:

                                                      n!

                                     P(r) =                       p^r q ^n-r

                                                   r! (n – r )!

       

7.            Distribusi hipergeometrik dicirikan dengan (a) hanya ada 2 peristiwa dalam setiap percobaan, dan (b) percobaan tidak bersifat independen, atau percobaan tanpa pengembalian.

            Distribusi hipergeometrik dirumuskan:

                                                (_sC_r) x (_N-sC_n-r)

                                    P(r) =

                                                                                    _NC_n

8.            Distribusi poisson dicirikan dengan (a) hanya ada 2 peristiwa dalam setiap percobaan, (b) probabilitas sukses dalam setiap percobaan sangat kecil, (c) jumlah populasi sangat besar dan (d) antar- percobaan bersifat independen.

            Distribusi hipergeometrik dirumuskan:

                                           P(X) =   m^X e^-m

                                                           X!

Varians,Deviasi rata-rata

Ringkasan Materi

Bab 4

Ukuran Penyebaran. Ukuran penyebaran adalah suatu ukuran baik parameter maupun statistik untuk mengetahui seberapa besar penyimpangan data dengan nilai rata-rata hitungnya.

Range. Range adalah perbedaan antara nilai terbesar dengan nilai terkecil. Range hanya dipengaruhi oleh dua data ekstrim, dan kurang memperhatikan peran data yang lain.

Deviasi rata-rata. Deviasi rata-rata adalah rata-rata hitung nilai absolut deviasi atau selisih dari rata-rata hitungnya. Rumus deviasi rata-rata:

 

MD  =  å f çX – X ê

                                                                     n

Varians. Varians adalah rata-rata hitung deviasi atau selisih kuadrat setiap data terhadap rata-rata hitungnya. Rumus varians   untuk data tidak berkelompok:

            Variann untuk data tidak berkelompok:

                    s² = å ( X -  m)²      di mana:          m =  å X

                                   N                                              N

            Varians untuk data berkelompok

                   s²  =   å f (X – X)²

                                   N

Standar deviasi. Standar deviasi adalah akar kuadrat positif dari varians dan menunjukkan standar penyimpangan data terhadap nilai rata-ratanya.

Standar deviasi  untuk data tidak berkelompok:

                   s  = Ö  å ( X -  m)²          

                                   N                                          

            Standar deviasi  untuk data berkelompok

 

                   s  =   Ö å f (X – X)²

                                   N

Apabila menggunakan sampel lambang varians s²  =  s²;  sedang standar deviasi  s  = s; sedang pembagi N menjadi   n-1.

Teorema Chebyshev, untuk suatu kelompok data dari sampel atau populasi, minimum proporsi nilai-nilai yang terletak dalam k standar deviasi dari rata-rata hitungnya adalah sekurang-kurangnya 1-1/k², di mana k merupakan konstanta yang nilainya lebih dari 1.

Ukuran penyebaran lain adalah (a) Jarak kuartil = K3 - K1, (b) deviasi kuartil= (K3 - K1)/2 dan (c) Jarak persentil= P90-P10.

Hukum empirik bermanfaat untuk kurva berbentuk normal atau simetri. Hukum empirik menyatakan bahwa kisaran m±s untuk 68% data,  kisaran m±2s untuk 95% data, dan  kisaran m±3s untuk 99,7% data.

Koefisien relatif merupakan ukuran penyebaran dalam bentuk relatif. Koefisien relatif terdiri dari:

            Koefisien range = {(La – Lb)/(La + Lb)} x 100%

            Koefisien deviasi rata-rata = (MD/X) x 100%

            Koefisien deviasi standar = (s/X) x 100%

Koefisien kecondongan  menunjukkan apakah kurva condong positif, negatif atau normal.  Rumus kecondongan adalah:

            Sk = m -  Mo   atau Sk = 3(m -  Md)

                        s                               s                      

Nilai Sk = 3 berarti normal, Sk>3 condong positif dan Sk<3 condong negatif.

Koefisien keruncingan  menunjukkan apakah kurva bersifat normal, runcing atau datar.

Koefisien keruncingan untuk data tidak berkelompok adalah:

            a⁴  =  1/n å (x - m)⁴

                               s⁴

            Koefisien keruncingan data berkelompok adalah:

            a⁴  =  1/n å f . (X - m)⁴

                                s⁴

Nilai a⁴= 0 berarti kurva normal/simitri, a⁴ >0 kurva runcing dan a⁴ <0 kurva datar.