Varians,Deviasi rata-rata

Ringkasan Materi

Bab 4

Ukuran Penyebaran. Ukuran penyebaran adalah suatu ukuran baik parameter maupun statistik untuk mengetahui seberapa besar penyimpangan data dengan nilai rata-rata hitungnya.

Range. Range adalah perbedaan antara nilai terbesar dengan nilai terkecil. Range hanya dipengaruhi oleh dua data ekstrim, dan kurang memperhatikan peran data yang lain.

Deviasi rata-rata. Deviasi rata-rata adalah rata-rata hitung nilai absolut deviasi atau selisih dari rata-rata hitungnya. Rumus deviasi rata-rata:

 

MD  =  å f çX – X ê

                                                                     n

Varians. Varians adalah rata-rata hitung deviasi atau selisih kuadrat setiap data terhadap rata-rata hitungnya. Rumus varians   untuk data tidak berkelompok:

            Variann untuk data tidak berkelompok:

                    s² = å ( X -  m)²      di mana:          m =  å X

                                   N                                              N

            Varians untuk data berkelompok

                   s²  =   å f (X – X)²

                                   N

Standar deviasi. Standar deviasi adalah akar kuadrat positif dari varians dan menunjukkan standar penyimpangan data terhadap nilai rata-ratanya.

Standar deviasi  untuk data tidak berkelompok:

                   s  = Ö  å ( X -  m)²          

                                   N                                          

            Standar deviasi  untuk data berkelompok

 

                   s  =   Ö å f (X – X)²

                                   N

Apabila menggunakan sampel lambang varians s²  =  s²;  sedang standar deviasi  s  = s; sedang pembagi N menjadi   n-1.

Teorema Chebyshev, untuk suatu kelompok data dari sampel atau populasi, minimum proporsi nilai-nilai yang terletak dalam k standar deviasi dari rata-rata hitungnya adalah sekurang-kurangnya 1-1/k², di mana k merupakan konstanta yang nilainya lebih dari 1.

Ukuran penyebaran lain adalah (a) Jarak kuartil = K3 - K1, (b) deviasi kuartil= (K3 - K1)/2 dan (c) Jarak persentil= P90-P10.

Hukum empirik bermanfaat untuk kurva berbentuk normal atau simetri. Hukum empirik menyatakan bahwa kisaran m±s untuk 68% data,  kisaran m±2s untuk 95% data, dan  kisaran m±3s untuk 99,7% data.

Koefisien relatif merupakan ukuran penyebaran dalam bentuk relatif. Koefisien relatif terdiri dari:

            Koefisien range = {(La – Lb)/(La + Lb)} x 100%

            Koefisien deviasi rata-rata = (MD/X) x 100%

            Koefisien deviasi standar = (s/X) x 100%

Koefisien kecondongan  menunjukkan apakah kurva condong positif, negatif atau normal.  Rumus kecondongan adalah:

            Sk = m -  Mo   atau Sk = 3(m -  Md)

                        s                               s                      

Nilai Sk = 3 berarti normal, Sk>3 condong positif dan Sk<3 condong negatif.

Koefisien keruncingan  menunjukkan apakah kurva bersifat normal, runcing atau datar.

Koefisien keruncingan untuk data tidak berkelompok adalah:

            a⁴  =  1/n å (x - m)⁴

                               s⁴

            Koefisien keruncingan data berkelompok adalah:

            a⁴  =  1/n å f . (X - m)⁴

                                s⁴

Nilai a⁴= 0 berarti kurva normal/simitri, a⁴ >0 kurva runcing dan a⁴ <0 kurva datar.

Rata-rata hitung

Ringkasan Materi

Bab 3

Ukuran pemusatan adalah suatu nilai tunggal yang mewakili karakter suatu kelompok data. Ada tiga ukuran pemusatan yaitu nilai rata-rata hitung, median dan modus.

Rata-rata hitung diperoleh dengan menjumlahkan seluruh nilai data dan membagi dengan jumlah data. Rata-rata hitung dibedakan antara populasi dan sampel.  Ukuran yang mewakili populasi disebut parameter, sedang untuk sampel disebut statistik.

       Rata-rata hitung populasi diperoleh dengan cara:

                                       å C

                         m    =

                                         N

        Rata-rata hitung sampel diperoleh dengan cara:

                                       å C

                          X   =

                                         n

        Rata-rata hitung data berkelompok diperoleh dengan cara:

                                       å f C

                          X   =

                                         n

Rata-rata hitung tertimbang dilakukan karena ada data yang mempunyai bobot yang tidak sama akibat pengaruh dan kepentingan baik berdasarkan waktu maupun besar pengaruhnya. Rata-rata hitung tertimbang diperoleh dengan cara:

                       

                          X_w    =   å(w . X)

                                         å w

Median adalah nilai yang berada di tengah  suatu kelompok data yang telah diurutkan dari yang terbesar ke yang terkecil atau sebaliknya. Letak median adalah (n + 1)/2. Nilai median untuk data berkelompok diperoleh dengan cara:

                                               n     - Cf

                                               2

            Md     =    L  +                        . i

                                                 f

Modus adalah nilai yang sering muncul. Untuk data tidak berkelompok, nilai modus adalah nilai dengan frekuensi terbanyak. Nilai modus untuk data berkelompok diperoleh dengan:

                                                        d1

                  Mo     =    L  +                        . i

                                                    d1+d2

Hubungan Antar-ukuran Pemusatan.  Nilai ukuran pemusatan yaitu rata-rata hitung (X), Median (Md) dan Modus (Mo) mempunyai hubungan dengan bentuk kurva distribusi frekuensinya. Apabila X= Md= Mo maka kurva simitris, X > Md, Mo maka kurva condong ke kanan dan X < Md, Mo maka kurva condong ke kiri.

Ukuran letak adalah ukuran pemusatan yang menunjukkan letak data dalam suatu data yang sudah terurutkan. Ukuran letak terdiri dari kuartil, desil dan persentil.

Kuartil adalah ukuran letak yang membagi distribusi data menjadi 4 bagian yang sama. Letak kuartil untuk data tidak berkelompok adalah [i(n + 1)]/4 dan data berkelompok adalah (in)/4, dimana nilai i adalah 1,2 dan 3.

Nilai kuartil untuk data yang tidak berkelompok dan berjumlah genap diperoleh dengan menggunakan rumus:

NK   =   NKB  +  [ (LK – LKB) / (LKA - LKB) ] x (NKA – NKB)

      

Nilai kuartil untuk data yang berkelompok diperoleh dengan menggunakan rumus:

NK_i  = L +  (in/4) – Cf    .  Ci

                             Fk

Desil adalah ukuran letak yang membagi distribusi data menjadi 10 bagian yang sama. Letak desil untuk data tidak berkelompok adalah [i(n + 1)]/10 dan data berkelompok adalah (in)/10, di mana nilai i adalah 1,2, 3, … 9.

Nilai kuartil untuk data yang tidak berkelompok dan berjumlah genap diperoleh dengan menggunakan rumus:

ND   =   NDB  +  [ (LD – LDB) / (LDA – LDB) ] x (NDA – NDB)

      

Nilai desil untuk data yang berkelompok diperoleh dengan menggunakan rumus:

ND_i  = L +  (in/10) – Cf    .  Ci

                             Fk

Persentil adalah ukuran letak yang membagi distribusi data menjadi 100 bagian yang sama. Letak persentil untuk data tidak berkelompok adalah [i(n+1)]/100 dan data berkelompok adalah (in)/100, dimana nilai i adalah 1,2, 3, …., 99

Nilai persentil untuk data yang tidak berkelompok dan berjumlah genap diperoleh dengan menggunakan rumus:

NP   =   NPB  +  [(LP – LPB) / (LPA - LPB) ] x (NPA – NPB)

      

Nilai persentil untuk data yang berkelompok diperoleh dengan menggunakan rumus:

NP_i  = L +  (i.n / 100) – Cf    .  Ci

                             Fk